Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=2时，把函数f（x）写成分段函数的形式；
（2）当a=2时，求f（x）在区间[1，3]上的最值；
（3）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=x²+3x|x-a|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

．
（2）结合函数f（x）的图象（图1）可得函数在区间[1，3]上最大值为f（3）=18，最小值为f（2）=4．
（3）当a＞0时，函数的图象如图2所示，最小值一定在x=a处取得，最大值在x=

3

4

a处取得，由此求出m、n的取值范围．当a＜0时，函数的图象如图3所示，最大值一定在x=a处取得，最小值在x=

3a

8

处取得，由此求出m、n的取值范围，综合可得结论．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x²+3x|x-a|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

． …..4分
（2）结合函数f（x）的图象（图1）可得，f（1）=4，f（2）=4，f（3）=18，f（

3

2

）=

9

2

，
所以函数在区间[1，3]上最大值为18，最小值为4．…..8分
（3）当a＞0时，函数的图象如图2所示，要使得在开区间（m，n）有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=

3

4

a处取得；
又f（a）=a²，在区间（-∞，a）内，函数值为a²时，x=

a

2

，所以

a

2

≤m＜

3a

4

．
f（

3a

4

）=

9a2

8

，而在区间（a，+∞）内函数值为

9a2

8

时，
x=

3+3 3

8

a，所以，a＜n≤

3+3 3

8

a．…..12分
当a＜0时，函数的图象如图3所示，要使得在开区间（m，n）有最大值又有最小值，则最大值一定在x=a处取得，最小值在x=

3a

8

处取得，
f（a）=a²，在（a，+∞）内函数值为 a² 时，x=-

a

4

，所以，

3a

8

＜n≤-

a

4

，f（

3a

8

）=-

9a2

16

，在区间（-∞，a）内，函数值为-

9a2

16

时，
x=

6-3 6

8

a，所以 

6-3 6

8

 a≤m＜a．…..15分
综上所述，当a＞0时，

a

2

≤m＜

3a

4

，a＜n≤

3+3 3

8

a．
当a＜0时，

6-3 6

8

a≤m＜a，

3a

8

＜n≤-

a

4

．…..16分．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．