Question

已知函数f(x)=log4x，x∈[

1

16

，4]的值域为集合A，关于x的不等式(

1

2

)3x+a＞2x(a∈R)的解集为B，集合C={x|

5-x

x+1

≥0}，集合D={x|m+1≤x＜2m-1}（m＞0）
（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；
（2）若D⊆C，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的单调性求对数函数的值域A，解指数不等式求出B，再根据A⊆B可得-

a

4

＞1，由此求得实数a的取值范围．
（2）解分式不等式

5-x

x+1

≥0求得C，对于集合D={x|m+1≤x＜2m-1}（m＞0），由D⊆C，分D=∅和 D≠∅两种情况，分别求出实m的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）因为f（x）在[

1

16

，4]上，单调递增，
∵f（

1

16

 ）=log4

1

16

=-2，f（4）=log₄4=1，
所以，A=[-2 1]．--------------（2分）
又由关于x的不等式(

1

2

)3x+a＞2x(a∈R) 可得 （2）^-3x-a＞2^x，-3x-a＞x  x＜-

a

4

，
所以，B=（-∞，-

a

4

）．-----（4分）
又A∪B=B，∴A⊆B．--------（5分）
所以，-

a

4

＞1，a＜-4，即实数a的取值范围为（-∞，-4）．-------（6分）
（2）因为

5-x

x+1

≥0，所以有

x-5

x+1

 ≤0，所以-1＜x≤5，所以，C=（-1，5]，---------（8分）
对于集合D={x|m+1≤x＜2m-1}（m＞0），若D⊆C，有：
①当 m+1≥2m-1时，即 0＜m≤2时，D=∅，满足 D⊆C．-----------（10分）
②当  m+1＜2m-1 时，即 m＞2时，D≠∅，所以有：

m+1＞-1 2m-1≤5

，解得-2＜m≤3，又 m＞2，2＜m≤3．---------（13分）
综上：由①②可得：实m的取值范围为（0，3]．---------（14分）

点评：本题主要考查利用对数函数的单调性求值域，指数不等式、分式不等式的解法，集合间的包含关系，属于中档题．