Question

【题目】已知A（﹣1，0），B（1，0）， = + ，| |+| |=4
（1）求P的轨迹E
（2）过轨迹E上任意一点P作圆O：x2+y2=3的切线l1 ， l2 ， 设直线OP，l1 ， l2的斜率分别是k0 ， k1 ， k2 ， 试问在三个斜率都存在且不为0的条件下， （ + ）是否是定值，请说明理由，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图因为 = + ，所以四边形ACPB是平行四边形，

所以| |=| |，

由| |+| |=4，得，| |+| |=4，

所以P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，a=2，c=1，b= ，

所以方程为 =1

（2）解：设P（x0，y0），过P的斜率为k的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），

由直线与圆O相切可得 = ，即： ，

由已知可知k1，k2是方程 的两个根，

所以由韦达定理：k1+k2= ，k1k2= ，

两式相除： + = ，

又因为 =﹣ ，

代入上式可得， （ + ）=﹣ 为一个定值

【解析】（1）利用| |=| |，由| |+| |=4，得，| |+| |=4，即可求P的轨迹E；（2）所以由韦达定理：k1+k2= ，k1k2= ，两式相除： + = ，即可得出结论．