Question

已知函数f（x）=

1-x

+

1+x

，若x，y满足f（x+1）-f（y）＞0，则x²+y²-2x+1的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：求函数的定义域，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为不等式组，利用线性规划的知识进行求解．

解答： 解：由

1-x≥0 1+x≥0

，得-1≤x≤1，
故函数的定义域为[-1，1]，
f（-x）=

1-x

+

1+x

=f（x），
则函数f（x）是偶函数，
当0≤x≤1时，函数的导数f′（x）=-

1

1-x

+

1

1+x

＜0，
即此时函数单调递减，
则f（x+1）-f（y）＞0等价为f（x+1）＞f（y），
即f（|x+1|）＞f（|y|），
即

-1≤x+1≤1 -1≤y≤1 |x+1|＞|y|

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
x²+y²-2x+1=（x-1）²+y²的几何意义是区域内的点到点Q（1，0）的距离的平方，
由图象可知，OQ的距离最小为1，AQ或BQ的距离最大，此时最大值为（-2-1）²+1²=10，
故x²+y²-2x+1的取值范围是（1，10），
故答案为：（1，10）．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决本题的关键．