【题目】已知公差不为零的等差数列满足
,且
成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)设等差数列的公差为
,由
成等比数列,可得
,化简得
,又
,所以
,从而
.;(2)结合(1)可得
,利用错位相减法结合等比数列的求和公式求解即可.
试题解析:(1)设等差数列的公差为
,因为
成等比数列,
所以,即
,
化简得,
又,所以
,从而
.
(2)因为,
所以,
所以,
以上两个等式相减得,
化简得.
【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和,属于中档题.一般地,如果数列
是等差数列,
是等比数列,求数列
的前
项和时,可采用“错位相减法”求和,一般是和式两边同乘以等比数列
的公比,然后作差求解, 在写出“
”
与“
” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式.
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【题目】我们可以把看作每天的"进步”率都是1%,一年后是
;而把
看作每天的“落后”率都是1%,一年后是
.利用计算工具计算并回答下列问题:
(1)一年后“进步”的是“落后”的多少倍?
(2)大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍?
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【题目】(Ⅰ)设 ,
,若
是
的必要不充分条件,求实数
的取值范围
(Ⅱ)已知命题方程
表示焦点在
轴上的椭圆;命题
:双曲线
的离心率
.若
有且只有一个为真命题,求
的取值范围.
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【题目】某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如表:
(1)用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为
的样本,将该样本看成一个总体,从中任取
人,求至少有
人的学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人,其中
岁以下
人,
岁以上
人,再从这
个人中随机抽取出
人,此人的年龄为
岁以上的概率为
,求
的值.
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试,求:第
组至少有一名学生被考官
面试的概率.
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,离心率为
,过
的直线
与椭圆
交于
两点,且
的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过点
,且与椭圆
交于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】五一劳动节放假,某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个,分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球,按3个小球中最大得分的8倍计分,计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3个小球中最大得分,求:
(1)取出的3个小球颜色互不相同的概率;
(2)随机变量的概率分布和数学期望;
(3)求某人抽奖一次,中奖的概率.
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【题目】已知函数(
且
),
(1)若,且函数
的值域为
,求
的解析式;
(2)在(1)的条件下,当时,
时单调函数,求实数
的取值范围;
(3)当,
时,若对于任意
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围
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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为
元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表(其中浮动比率是在基准保费上上下浮动):
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | ||
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮 | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮 |
某机构为了研究某一品牌普通座以下私家车的投保情况,随机抽取了
辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 |
(Ⅰ)求这辆车普通
座以下私家车在第四年续保时保费的平均值(精确到
元)
(Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损元,一辆非事故车盈利
元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致.试完成下列问题:
①若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在该店内随机挑选辆车,求这
辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进辆车(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
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