Question

【题目】已知函数.

（1）已知直线：，：若直线与关于对称，又函数在处的切线与平行，求实数的值；

（2）若，证明：当时，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）首先利用直线一定过与的交点，再利用直线上任意点关于对称的点都在直线上，之后应用两点是式求得直线的方程，求得其斜率，即为函数的值，从而求得结果；

（2）利用导数研究函数的单调性，从而证得结果.

（1）由解得

必过与的交点.

在上取点，易得点关于对称的点为，

即为直线，所以的方程为，

即，其斜率为.

又，

所以函数在处的切线的斜率为，

由题意可得，解得.

（2）法一：因为

所以，

①若，.∴在上单调递减.

②若，当，或时，时，

当时，.

∴在，上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递减，

所以，又

所以，当时，恒成立.

法二：要证，即证，

因为，即证.

∵，∴.

设，则.

设，则，

在上，恒成立.

∴在上单调递增.

又∵，∴时，，

所以在上单调递增，

∴，∴，，

所以，

所以在上恒成立.

即当时，恒成立.

综上，当时，恒成立.