【题目】如图,在四棱锥中,四边形为正方形, 平面, , 是上一点,且.
(1)求证: 平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)连接,由线面垂直的性质定理可得,且,故平面, ,又,利用线面垂直的判断定理可得平面.
(2)法1:由(1)知平面,即是直线与平面所成角,设,则, , ,结合几何关系计算可得,即直线与平面所成角的正弦值为.
法2:取为原点,直线, , 分别为, , 轴,建立坐标系,不妨设,结合(1)的结论可得平面得法向量,而,据此计算可得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析:
(1)连接,由平面, 平面得,
又, ,
∴平面,得,
又, ,
∴平面.
(2)法1:由(1)知平面,即是直线与平面所成角,易证,而,
不妨设,则, , ,
在中,由射影定理得,
可得,所以,
故直线与平面所成角的正弦值为.
法2:取为原点,直线, , 分别为, , 轴,建立坐标系,不妨设,则, , ,
由(1)知平面得法向量,而,
∴ .
故直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米.
(1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
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【题目】若数列满足:存在正整数,对任意的,使得成立,则称为阶稳增数列.
(1)若由正整数构成的数列为阶稳增数列,且对任意,数列中恰有个,求的值;
(2)设等比数列为阶稳增数列且首项大于,试求该数列公比的取值范围;
(3)在(1)的条件下,令数列(其中,常数为正实数),设为数列的前项和.若已知数列极限存在,试求实数的取值范围,并求出该极限值.
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【题目】在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是,甲、乙两人都回答错误的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的.
(Ⅰ)求乙答对这道题的概率;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
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【题目】某数学兴趣小组有男女生各5名.以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位:分).已知男生数据的中位数为125,女生数据的平均数为126.8.
(1)求的值;
(2)现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学,求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率.
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