Question

【题目】已知定义在R上的奇函数

(1)求实数的值；

(2)判断的单调性，并证明．

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) m＝1 (2)见解析(3)

【解析】

（1）由定义在实数集上的奇函数有f（0）＝0列式求解，或直接由奇函数的定义得恒等式，由系数相等求解b的值；

（2）直接利用函数单调性的定义证明；

（3）由函数的奇偶性和单调性，把给出的不等式转化为含有t的一元二次不等式，分离变量k后求二次函数的最值，则答案可求．

（1）解：法一、∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴m＝1，经检验，函数为奇函数；

法二、由是奇函数，则

∴即对一切实数x都成立，

∴m＝1；

（2）由（1）知，f（x）在R上是减函数．

证明：设x1，x2为R上的任意两个实数，且x1＜x2，

则

．

∵x1＜x2，∴，，，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上是减函数；

（3）∵f（x）既是奇函数，又是实数集上的减函数，

∴不等式f（t﹣2t2）＞f（t2﹣t﹣k）3t2﹣2t>k，

∴对t∈R恒成立，

∴．