Question

11．已知A，B是两个定点，且|AB|=2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P到A，B两点的距离之积为m，则m取最大值时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，利用垂直平分线转换线段的关系得到PA+PB=4，据椭圆的定义即可得到动点P的轨迹方程．
（2）利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）以线段AB的中点为坐标原点，直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系．
由线段MB的垂直平分线l交MA于点P知，PB=PM
故PA+PB=PA+PM=AM=4，
即P点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，中心为（0，0），
故P点的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵PA+PB=4≥2$\sqrt{PA•PB}$，∴PA•PB≤4，
当且仅当PA=PB时，PA•PB，即m取最大值，此时P（0，±$\sqrt{3}$）．

点评 定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．