Question

19．已知函数f（x）=9^x-m•3^x+1，若存在实数x，使等式f（-x）+f（x）=0成立，则实数m的最小值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知推导出3m=${3}^{x}+{3}^{-x}-\frac{2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$，令t=3^x+3^-x，则t≥2，得到3m=t-$\frac{2}{t}$（t≥2）在[2，+∞）上是单调增函数，由此能求出实数m的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=9^x-m•3^x+1，存在实数x，使等式f（-x）+f（x）=0成立，
∴9^-x-m•3^-x+1=-9^x+m•3^x+1，
∴m（3^x+1+3^-x+1）=9^x+9^-x，
∴3m=$\frac{{9}^{x}+{9}^{-x}}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$=$\frac{（{3}^{x}+{3}^{-x}）^{2}-2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$=${3}^{x}+{3}^{-x}-\frac{2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$，
令t=3^x+3^-x，则t≥2，
∵函数y=t与y=-$\frac{2}{t}$在[2，+∞）上均为单调递增函数，
∴3m=t-$\frac{2}{t}$（t≥2）在[2，+∞）上是单调增函数，
当t=2时，3m=t-$\frac{2}{t}$（t≥2）取得最小值1，即3m≥1，
∴$m≥\frac{1}{3}$．∴实数m的最小值为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数中参数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．