Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）
（1）求证：{a_n+1+2a_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），求|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2），变形为a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），又a₂+2a₁=15，利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+1+2a_n=15×3^n-1=5×3ⁿ，变形为${a}_{n+1}-{3}^{n+1}=-2（{a}_{n}-{3}^{n}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），可得b_n=n•$（-\frac{2}{3}）^{n}$．|b_n|=$n•（\frac{2}{3}）^{n}$．令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=$\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}$+$3×（\frac{2}{3}）^{3}$+…+$n•（\frac{2}{3}）^{n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2），∴a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），又a₂+2a₁=15，
∴{a_n+1+2a_n}是等比数列，首项为15，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a_n+1+2a_n=15×3^n-1=5×3ⁿ，变形为${a}_{n+1}-{3}^{n+1}=-2（{a}_{n}-{3}^{n}）$，
∴数列$\{{a}_{n}-{3}^{n}\}$是等比数列，首项为2，公比为-2，
∴${a}_{n}-{3}^{n}$=2×（-2）^n-1，∴a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．
（3）解：3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），∴3ⁿb_n=n•（-2）ⁿ，∴b_n=n•$（-\frac{2}{3}）^{n}$．
∴|b_n|=$n•（\frac{2}{3}）^{n}$．
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=$\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}$+$3×（\frac{2}{3}）^{3}$+…+$n•（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$（\frac{2}{3}）^{2}+2×（\frac{2}{3}）^{3}$+…+（n-1）$•（\frac{2}{3}）^{n}$+$n•（\frac{2}{3}）^{n+1}$，
两式相减可得：$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{2}{3}$+$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n}$-$n•（\frac{2}{3}）^{n+1}$=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-$n•（\frac{2}{3}）^{n+1}$=2-$\frac{6+2n}{3}$$•（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴S_n=6-$（6+2n）•（\frac{2}{3}）^{n}$．
要使|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，
则m≥6．
∴m的取值范围是[6，+∞）．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．