Question

11．已知数列a_n=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2^{n-1}}，n≥2}\end{array}$，S_n是该数列的前n项和，若S_n能写成t^p（t，p∈N^*且t＞1，p＞1）的形式，则称S_n为“指数型和”．则{S_n}中是“指数型和”的项的序号和为3．

Answer 1

分析 由数列a_n=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2^{n-1}}，n≥2}\end{array}$，当n=1时，S₁=a₁=3．S₂=5，S₃=9=3²．当n≥4时，C_n=3+2+4+…+2^n-1=2ⁿ+1，C₁=3，所以对正整数n都有C_n=2ⁿ+1．由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．对p分类讨论即可得出．

解答 解：由数列a_n=$\left\{{\;}\right.\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2^{n-1}}，n≥2}\end{array}$，当n=1时，S₁=a₁=3．
S₂=3+2=5，S₃=3+2+2²=9=3²．
当n≥4时，C_n=3+2+4+…+2^n-1=2ⁿ+1，C₁=3，
所以对正整数n都有C_n=2ⁿ+1．
由t^p=2ⁿ+1，t^p-1=2ⁿ，（t，p∈N^*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．
①当p为偶数时，t^p-1=$（{t}^{\frac{p}{2}}+1）（{t}^{\frac{p}{2}}-1）$=2ⁿ，
因为t^p+1和t^p-1都是大于1的正整数，
所以存在正整数g，h，使得t^p+1=2^g，${t}^{\frac{p}{2}}$-1=2^h，2^g-2^h=2，2^h（2^g-h-1）=2，
所以2^h=2且2^g-h-1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C₃=3²，C₃为“指数型和”；
②当p为奇数时，t^p-1=（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1），
由于1+t+t²+…+t^p-1是p个奇数之和，仍为奇数，又t-1为正偶数，
所以（t-1）（1+t+t²+…+t^p-1）=2ⁿ不成立，此时没有“指数型和”．
综上可得：只有n=3时，满足条件．
故答案为：3．

点评 本题考查了新定义“指数型和”、等比数列的求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．