试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑推理能力.第一问,在数列
的所有项中任意抽取几项,令其构成等比数列即可,但是至少抽取3项;第二问,分2种情况进行讨论:
和
,利用数列的单调性,先假设存在,在推导过程中找出矛盾即可.
试题解析:(1)
(若只写出2,8,32三项也给满分). 4分
(2)证明:假设能抽出一个子列为无穷等差数列,设为
,通项公式为
.因为
所以
.
(1)当
时,
∈(0,1],且数列
是递减数列,
所以
也为递减数列且
∈(0,1],
,
令
,得
,
即存在
使得
,这与
∈(0,1]矛盾.
(2)当
时,
≥1,数列
是递增数列,
所以
也为递增数列且
≥1,
.
因为d为正的常数,且
,
所以存在正整数m使得
.
令
,则
,
因为
=
,
所以
,即
,但这与
矛盾,说明假设不成立.
综上,所以数列
不存在是无穷等差数列的子列. 13分