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从数列中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列.
(1)写出数列的一个是等比数列的子列;
(2)设是无穷等比数列,首项,公比为.求证:当时,数列不存在
是无穷等差数列的子列.
(1);(2)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式及其性质等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑推理能力.第一问,在数列的所有项中任意抽取几项,令其构成等比数列即可,但是至少抽取3项;第二问,分2种情况进行讨论:,利用数列的单调性,先假设存在,在推导过程中找出矛盾即可.
试题解析:(1)(若只写出2,8,32三项也给满分).           4分
(2)证明:假设能抽出一个子列为无穷等差数列,设为,通项公式为.因为
所以.
(1)当时,∈(0,1],且数列是递减数列,
所以也为递减数列且∈(0,1],,
,得
即存在使得,这与∈(0,1]矛盾.
(2)当时,≥1,数列是递增数列,
所以也为递增数列且≥1,.
因为d为正的常数,且
所以存在正整数m使得.
,则
因为=
所以,即,但这与矛盾,说明假设不成立.
综上,所以数列不存在是无穷等差数列的子列.            13分
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.

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