Question

5．已知函数f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f′（x）是f（x）的导函数，证明：对于任意x＞0，f′（x）＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，x＞0．f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$，f′（1）=0，即可得出单调区间．
（2）要证明f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$，x＞0，即证明1-x（lnx+1）＜$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．令g（x）=1-x（lnx+1），h（x）=$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．（x＞0）．令导数研究其单调性，分别求出函数g（x）的最大值，函数h（x）的最小值即可证明．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$，x＞0．
f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$，
f′（1）=0，
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∴函数f（x）单调递减区间为（1，+∞）；单调递增区间为（0，1]．
（2）证明：要证明f′（x）=$\frac{1-x（lnx+1）}{x{e}^{x}}$＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$，x＞0，即证明1-x（lnx+1）＜$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．
令g（x）=1-x（lnx+1），h（x）=$\frac{（1+{e}^{-2}）{e}^{x}}{x+1}$．（x＞0）．
g′（x）=-lnx-2，
令g′（x）=0，解得x=e^-2．当x＞e^-2时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当0＜x＜e^-2时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
∴当x=e^-2时，函数g（x）取得最大值，g（e^-2）=1+e^-2．
h′（x）=（1+e^-2）$\frac{{e}^{x}x}{（x+1）^{2}}$＞0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞h（0）=1+e^-2．
∴对于任意x＞0，f′（x）＜$\frac{1+{e}^{-2}}{{x}^{2}+x}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．