Question

20．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是（空间）非零向量，构造向量集合$P=\left\{{\left.{\overrightarrow p}\right|\overrightarrow p=t\overrightarrow a+\overrightarrow b，t∈{R}}\right\}$，记集合P中模最小的向量$\overrightarrow p$为$T（\overrightarrow a，\overrightarrow b）$．
（Ⅰ）对于$T（\overrightarrow a，\overrightarrow b）=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，求t的值（用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示）；
（Ⅱ）求证：$T（\overrightarrow a，\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$；
（Ⅲ）若$|\overrightarrow{a_1}|=|\overrightarrow{a_2}|=1$，且$＜\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}＞=\frac{π}{3}$，构造向量序列${\overrightarrow a_n}=T（\overrightarrow{{a_{n-2}}}，\overrightarrow{{a_{n-1}}}）$，其中n∈N^*，n≥3，请直接写出$|{\overrightarrow{a_n}}|$的值（用n表示，其中n≥3）．

Answer 1

分析 （I）$|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$，利用二次函数的单调性可得：当t=-$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$时，其模取得最小值．
（II）证明：由（I）k可得：$（-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}×\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$$•\overrightarrow{a}$=0，即可证明$T（\overrightarrow a，\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$．
（III）不妨取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．可得$\overrightarrow{{a}_{3}}$=$T（\overrightarrow{{a}_{1}}，\overrightarrow{{a}_{2}}）$.$t\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}$=$（t+\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得|$t\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}$|=$\sqrt{（t+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\overrightarrow{{a}_{3}}$=$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$|\overrightarrow{{a}_{3}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，同理可得：$\overrightarrow{{a}_{4}}$=$（-\frac{3}{8}，\frac{\sqrt{3}}{8}）$，$|\overrightarrow{{a}_{4}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，…，即可得出．

解答 （I）解：∵对于$T（\overrightarrow a，\overrightarrow b）=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，∴$|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$，当t=-$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$时，其模取得最小值．∴t=-$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$．
（II）证明：由（I）k可得：$（-\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}×\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$$•\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，因此：$T（\overrightarrow a，\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$．
（III）解：不妨取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{a}_{2}}$=$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
向量序列${\overrightarrow a_n}=T（\overrightarrow{{a_{n-2}}}，\overrightarrow{{a_{n-1}}}）$，其中n∈N^*，n≥3，
∴$\overrightarrow{{a}_{3}}$=$T（\overrightarrow{{a}_{1}}，\overrightarrow{{a}_{2}}）$．
$t\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}$=$（t+\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴|$t\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}$|=$\sqrt{（t+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当且仅当t=-$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\overrightarrow{{a}_{3}}$=$（0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，∴$|\overrightarrow{{a}_{3}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理可得：$\overrightarrow{{a}_{4}}$=$（-\frac{3}{8}，\frac{\sqrt{3}}{8}）$，$|\overrightarrow{{a}_{4}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，…，
∴$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查了新定义、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．