Question

12．设i是虚数单位，2、2i、cosα+isinα（0＜α＜π）分别对应复平面内的点A、B、C，O为坐标原点，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$．
（1）求α的值；
（2）求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由题意和复数的几何意义可得点的坐标，进而可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$的坐标，由模长公式可得cosα，可得答案；
（2）α求出后，可以得到向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的坐标．

解答 解：（1）由题意可得O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+cosα，sinα），∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴4cosα-2=0，解得cosα=$\frac{1}{2}$，结合0＜α＜π可得α=$\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{OA}$=（2，0）；$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
所以：$\overrightarrow{AC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
所以＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{5}{6}π$．

点评 本题考查平面向量的模长公式和夹角公式，涉及复数的几何意义，属基础题．