Question

8．已知圆 x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M （ 4，-8 ）．
（Ⅰ） 过M作圆的切线，切点为C、D，求切线长及CD所在直线的方程；
（Ⅱ） 过M作圆的割线交圆于A，B两点，若|AB|=4，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切线的性质可知，切线长、半径、M点到圆心距离满足勾股定理，则切线长可求；再利用切点与点M的连线和半径垂直以及切点C，D都在圆上列出方程组，两式相减即可得到CD所在直线的方程；
（Ⅱ）先将圆的方程化成标准式，求出圆心O和半径，再根据弦长为4，结合垂径定理得到圆心到直线AB的距离，则就可以利用点到直线的距离公式求出直线AB的斜率，问题获解．

解答 解：x²+y²-4x+2y-3=0可化为：（x-2）²+（y+1）²=8，所以圆心E为（2，-1），半径r=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）易知|MO|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-8+1）^{2}}$=$\sqrt{53}$，∴切线长l=$\sqrt{53-8}$=3$\sqrt{5}$．
由题意得，以EM为直径的圆的方程为x²+y²-6x+9y+16=0，
与x²+y²-4x+2y-3=0两式相减得CD方程为2x-7y-19=0．
（Ⅱ）由题意设割线方程为y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0 ①，
∵半径r=2$\sqrt{2}$，|AB|=4，∴圆心到割线距离d=2，
∴$\frac{|2k+1-4k-8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=-$\frac{45}{28}$，代入①得直线方程为45x+28y+44=0；经验证，x=4也符合题意．
∴直线AB方程为45x+28y+44=0或x=4．

点评 有关圆的弦长问题一般会用到垂径定理，侧重考查圆的几何性质，属于中档题．