Question

13．已知关于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0，其中a∈R．
（1）若不等式的解集为（-∞，-1]∪[4，+∞），求实数a的值；
（2）若不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-5对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知1，4是方程ax²+（a-2）x-2=0的解，利用韦达定理即可求得实数a的值；
（2）不等式ax²+（a-2）x-2≥2x²-5对任意实数x恒成立，可化为（a-2）x²+（a-2）x+3≥0对任意实数x∈R恒成立，分a=2与a≠2两类讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答 （文科）解：（1）由题意知方程ax²+（a-2）x-2=0的解为-1，4，且a＞0，…（2分）
所以-$\frac{2}{a}$=-4，解得a=$\frac{1}{2}$．…（4分）
（2）问题可化为（a-2）x²+（a-2）x+3≥0对任意实数x∈R恒成立，
①当a=2时，3≥0恒成立；  …（6分）
②当a≠2时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{{（a-2）}^{2}-12（a-2）≤0}\end{array}\right.$，解得2＜a≤14；…（12分）
综上①②得2≤a≤14．…（14分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查一元二次不等式的解法，考查函数与方程思想、分类讨论思想的应用，属于中档题．