Question

过抛物线y=-

1

4

x²的焦点作倾斜角为α的直线l交于A、B两点，若AB=8，则倾斜角α的值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意知，x²=-4y，其焦点坐标为F（0，-1），准线方程为y=1，利用抛物线的定义可知，点A与点B的纵坐标之和y_A+y_B=-6；将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得直线l的斜率，即tanα的值，从而可求α的值．

解答： 解：∵y=-

1

4

x²，
∴x²=-4y，
∴其焦点坐标为F（0，-1），准线方程为y=1；
又过焦点F的倾斜角为α直线l与抛物线x²=-4y交于A、B两点，且AB=8，
∴|y_A-1|+|y_B-1|=8，又y_A＜0，y_B＜0，
∴1-y_A+1-y_B=8，y_A+y_B=-6．
∵直线l的方程为：y+1=xtanα=kx，由

x2=-4y y=kx-1

得：y²+（2+4k²）y+1=0，
显然△=（2+4k²）²-4＞0，
∴y_A+y_B=-（2+4k²）=-6，解得k=±1，即tanα=±1，
∴α=

π

4

或

3π

4

．
故答案为：

π

4

或

3π

4

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线的定义的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，考查方程思想与韦达定理的应用，属于中档题．