Question

已知定圆A：（x+

3

）²+y²=16的圆心A，动圆M过点B（

3

，0），且与圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设不垂直于x轴的直线l与上述曲线C交于不同的两点P，Q，点D（-3，0），若x轴是∠PDQ的角平分线，证明直线l过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依据条件判断定圆和动圆相内切，再依据椭圆的定义写出曲线C的方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0．由角平分线的性质可得k_PD=-k_QD，设直线PQ的方程为y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，代入化简整理，可得k=

3

4

t，即有直线PQ的方程为y=

3

4

tx+t，即为y=

3

4

t（x+

4

3

）．令y=0，即可得到定点．

解答： （1）解：圆A的圆心为A（-

3

，0），半径r₁=4，
设动圆M的圆心M（x，y），半径为r₂，依题意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2

3

，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=4，2c=2

3

，可得a²=4，b²=1．
故曲线C的方程为

x2

4

+y²=1；
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0，
设直线PQ的方程为y=kx+t，联立椭圆方程，消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
则x₁+x₂=

-8kt

1+4k2

，x₁x₂=

4t2-4

1+4k2

，y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∵x轴是∠PDQ的角平分线，∴k_PD=-k_QD，∴

y1

x1+3

+

y2

x2+3

=0，
即有x₁y₂+x₂y₁+3（y₁+y₂）=0，即有（3k+t）（x₁+x₂）+2kx₁x₂+6t=0，
即有（3k+t）•

-8kt

1+4k2

+2k•

4t2-4

1+4k2

+6t=0，化简可得，k=

3

4

t，
即有直线PQ的方程为y=

3

4

tx+t，即为y=

3

4

t（x+

4

3

）．令y=0，则x=-

4

3

．
则直线l过定点（-

4

3

，0）．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质及运用，考查直线的斜率公式及运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，化简整理，考查运算能力，属于中档题．