Question

数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²-x＜nx（n∈N^*）的解集中整数的个数，f（n）=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an+n

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n＞1时，判断f（n）的单调性，并证明；
（3）是否存在实数a使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

对一切大于1的自然数n恒成立．若存在，试确定a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到通项；
（2）运用作差f（n+1）-f（n），即可判断数列的单调性；
（3）假设存在实数a，使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

对一切大于1的自然数n恒成立．通过数列的单调性，求出最小值，通过解不等式，即可判断．

解答： 解：（1）∵x²-x＜nx（n∈N^*），∴x²-（n+1）x＜0
解得0＜x＜n+1，
∵数列{a_n}的通项公式是关于x的不等式x²-x＜nx（n∈N^*）的解集中的整数个数，
∴a_n=n；
（2）f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增函数．
理由如下：由于f（n）=

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+2

，
则f（n+1）=

1

n+4

+

1

n+5

+…+

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

2n+4

，
f（n+1）-f（n）=

1

2n+3

+

1

2n+4

-

1

n+3

=

9+5n

(2n+4)(2n+3)(n+3)

＞0，
则f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增函数；
（3）假设存在实数a，
使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

对一切大于1的自然数n恒成立．
由于f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增函数，
则f（n）≥f（2）=

1

5

+

1

6

=

11

30

，
则有

1

12

log_a（a-1）+

2

3

＜f（2）=

11

30

，
则a＞1且log_a（a-1）＜-

18

5

＜0，
解得，1＜a＜2．
故存在实数a，且1＜a＜2，
使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

对一切大于1的自然数n恒成立．

点评：本题考查数列的通项和数列的单调性和运用：求最值，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．