Question

在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点A（x₁，x₂），B（y₁，y₂）的“直角距离”，已知直线l经过点P（

5

，0），倾斜角为α，且cosα=-

5

5

，在直线l上截取线段EF（-

5

≤x≤2

5

），则原点O与线段EF上一点的“直角距离”的最小值与最大值之和是

 

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：可求得直线l的方程：2x+y-2

5

=0，设M（x，y）是线段EF上任一点，代入则有：y=-2x+2

5

，可得d(O，M)=|x|+|y|=|x|+|2x-2

5

|，利用分段函数的图象与性质即可得出．

解答： 解：可求得直线l的方程：2x+y-2

5

=0，
设M（x，y）是线段EF上任一点，代入则有：y=-2x+2

5

，
∴d(O，M)=|x|+|y|=|x|+|2x-2

5

|，
构造函数f(x)=|x|+|y|=|x|+|2x-2

5

|（-

5

≤x≤2

5

），
即f(x)=

-3x+2 5 ，  - 5 ≤x＜0 -x+2 5 ，  0≤x≤ 5 3x-2 5 ，   5 ≤x≤2 5

，
可知当x=

5

时，有f(x)min=

5

；
当x=-

5

，有f(x)max=5

5

，
∴f（x）_min+f(x)max=6

5

．

点评：本题考查了直线的方程、“新定义”、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．