Question

已知A={x₁，x₂，x₃，x₄}，B={x∈R⁺|2（x-12）sin

πx

4

=1}，且A是B的子集，则x₁+x₂+x₃+x₄的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：将2（x-12）sin

πx

4

=1两边同除以2（x-12），再分别判断两函数的对称中心，得到函数f（x）=sin

πx

4

-

1

2(x-12)

的对称中心，再由对称性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答： 解：由2（x-12）sin

πx

4

=1得，sin

πx

4

=

1

2(x-12)

，则x＞0且x≠12，
∵y=sin

πx

4

是以8为周期的奇函数，∴y=sin

πx

4

的对称中心是（4k，0），k∈z，
∵y=

1

2(x-12)

的图象是由奇函数y=

1

2x

向右平移12个单位得到，
∴y=

1

2(x-12)

的对称中心是（12，0），
即函数f（x）=sin

πx

4

-

1

2(x-12)

的对称中心是（12，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x∈R⁺|2（x-12）sin

πx

4

=1}，
∴当x＞0时，最小值x₁和x₃、x₂和x₄关于（12，0）对称，即x₁+x₃=24、x₂+x₄=24，
则x₁+x₂+x₃+x₄=48，
故答案为：48

点评：本题考查三角函数的对称性，涉及集合的基本运算，属中档题．