Question

【题目】已知是偶函数，.

（1）求的值，并判断函数在上的单调性，说明理由；

（2）设，若函数与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围；

（3）定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于1的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，）.试判断函数是否为“上的函数”，若是，则求出的最小值；若不是，则说明理由.（注：）.

Answer 1

【答案】（1），递减；理由见解析；（2）；（3）是，.

【解析】

（1）由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；函数h（x）＝f（x）x＝log4（4x+1）﹣x在R上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；

（2）由题意可得log4（4x+1）x＝log4（a2xa）有且只有一个实根，可化为2x+2﹣x＝a2xa，即有a，化为a﹣1，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．

（3）利用求解即可

（1）f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函数，

可得f（﹣x）＝f（x），即log4（4﹣x+1）﹣kx＝log4（4x+1）+kx，

即有log42kx，可得log44﹣x＝﹣x＝2kx，

由x∈R，可得k；

又函数h（x）＝f（x）x＝log4（4 x+1）﹣x=在R上递减，

理由：设x1＜x2，则h（x1）﹣h（x2）＝log4（ ）﹣log4（）

＝log4（4﹣x1+1）﹣log4（4﹣x2+1），

由x1＜x2，可得﹣x1＞﹣x2，可得log4（4﹣x1+1）＞log4（4﹣x2+1），

则h（x1）＞h（x2），即y＝f（x）x在R上递减；

（2）g（x）＝log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，

即为log4（4x+1）x＝log4（a2xa）有且只有一个实根，

可化为2x+2﹣x＝a2xa，

即有a，化为a﹣1，

可令t＝12x（t＞1），则2x，

则a﹣1，

由9t34在（1，）递减，（，+∞）递增，

可得9t34的最小值为234＝﹣4，

当a﹣1＝﹣4时，即a＝﹣3满足两图象只有一个交点；

当t＝1时，9t34＝0，可得a﹣1＞0时，即a＞1时，两图象只有一个交点，

综上可得a的范围是（1，+∞）∪{﹣3}．

（3）是函数，理由如下：由题当任意的，有

因为单调递增，则，故的最小值为