【题目】定义:若数列满足,存在实数
,对任意
,都有
,则称数列
有上界,
是数列
的一个上界,已知定理:单调递增有上界的数列收敛(即极限存在).
(1)数列是否存在上界?若存在,试求其所有上界中的最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若非负数列满足
,
(
),求证:1是非负数列
的一个上界,且数列
的极限存在,并求其极限;
(3)若正项递增数列无上界,证明:存在
,当
时,恒有
.
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【题目】在三棱锥P﹣ABC中,D为AB的中点.
(1)与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证:AB⊥PC.
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【题目】已如椭圆C:的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设动直线l交椭圆C于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率分别为k,k'.若,求证△OPQ的面积为定值,并求此定值.
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【题目】已知是偶函数,
.
(1)求的值,并判断函数
在
上的单调性,说明理由;
(2)设,若函数
与
的图像有且仅有一个交点,求实数
的取值范围;
(3)定义在上的一个函数
,如果存在一个常数
,使得式子
对一切大于1的自然数
都成立,则称函数
为“
上的
函数”(其中,
).试判断函数
是否为“
上的
函数”,若是,则求出
的最小值;若不是,则说明理由.(注:
).
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【题目】某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当
中
(
)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受
影响,恒为
分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族的人均通勤时间
的表达式;讨论
的单调性,并说明其实际意义.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,该椭圆与y轴正半轴交于点M,且△MF1F2是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F2任作一直线交椭圆于A,B两点,平面上有一动点P,设直线PA,PF2,PB的斜率分别为k1,k,k2,且满足k1+k2=2k,求动点P的轨迹方程.
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【题目】如图,某公园有三条观光大道、
、
围成直角三角形,其中直角边
,斜边
.
(1)若甲乙都以每分钟100的速度从点
出发,甲沿
运动,乙沿
运动,乙比甲迟2分钟出发,求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离;
(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点、
、
,设
,乙丙之间的距离
是甲乙之间距离
的2倍,且
,请将甲乙之间的距离
表示为
的函数,并求甲乙之间的最小距离.
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【题目】在直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,点
在椭圆上,若圆
的一条切线(斜率存在)与椭圆C有两个交点A,B,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求圆O的标准方程;
(3)已知椭圆C的上顶点为M,点N在圆O上,直线MN与椭圆C相交于另一点Q,且,求直线MN的方程.
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