Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，该椭圆与y轴正半轴交于点M，且△MF1F2是边长为2的等边三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F2任作一直线交椭圆于A，B两点，平面上有一动点P，设直线PA，PF2，PB的斜率分别为k1，k，k2，且满足k1+k2=2k，求动点P的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）x=4.

【解析】

（1）根据椭圆的定义可得，从而可求出椭圆的方程.

（2）设过点F2的直线方程为y=（x﹣1）（当斜率存在时），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，用两点表示出直线的斜率，代入k1+k2=2k，化简即可求解；当直线斜率不存在时，验证是否满足求出的轨迹方程即可.

（1）由题意可知：b=|OM|，a=|MF1|=2，

所以椭圆标准方程为.

（2）①设过点F2的直线方程为y=（x﹣1）（当斜率存在时），

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

联立方程，得到（3+42）x2﹣82x+42﹣12=0，

其中，，y1=（x1﹣1），y2=（x2﹣1），

由k1+k2=2k得：，

通分代入得：，

即（x0﹣4）（（x0﹣1）﹣y0）=0，y0=（x0﹣1）舍去，所以x0=4，

②当直线斜率k不存在时，即为x=1，经验证可知直线x0=4上任意一点亦满足条件.

所以点P的轨迹的方程为x=4.