Question

【题目】已知（m，n为常数），在处的切线方程为．

（Ⅰ）求的解析式并写出定义域；

（Ⅱ）若，使得对上恒有成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若有两个不同的零点，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），x∈（0，+∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）利用导数的几何意义意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；

（Ⅱ）f（x）在[，1]上的最小值为f（1）＝1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即对任意的上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论；

（Ⅲ）不妨设x1＞x2＞0，得到g（x1）＝g（x2）＝0，根据相加和相减得到，再利用分析法，构造函数，求出函数单调性和函数的最小值，问题得以证明．

解：（Ⅰ）由f（x）=+nlnx可得，

由条件可得，把x=-1代入x+y=2可得，y=1，

∴，∴m=2，，∴，x∈（0，+∞），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在上单调递减，∴f（x）在上的最小值为f（1）=1，

故只需t3-t2-2at+2≤1，即对任意的上恒成立，

令，

易求得m（t）在单调递减，[1，2]上单调递增，

而，，∴2a≥m（t）max=g（2），∴，即a的取值范围为

（Ⅲ）∵，不妨设x1＞x2＞0，

∴g（x1）=g（x2）=0，

∴，，相加可得，相减可得，

由两式易得：；要证，即证明，即证：，需证明成立，令，则t＞1，于是要证明，构造函数，∴，故（t）在（1，+∞）上是增函数，

∴（t）＞（1）=0，∴，故原不等式成立．