【题目】如图,已知圆:
,点
是圆
内一个定点,点
是圆上任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
相交于点
.当点
在圆上运动时,点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设过点的直线
与曲线
相交于
两点(点
在
两点之间).是否存在直线
使得
?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,
或
.
【解析】
(1)结合垂直平分线的性质和椭圆的定义,求出椭圆的方程.
(2)设出直线的方程,联立直线
的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用
,结合向量相等的坐标表示,求得直线
的斜率,进而求得直线
的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线
的方程的设法的不同.
(1)因为圆的方程为
,
所以,半径
.
因为是线段
的垂直平分线,所以
.
所以.
因为,
所以点的轨迹是以
,
为焦点,长轴长
的椭圆.
因为,
,
,
所以曲线的方程为
.
(2)存在直线使得
.
方法一:因为点在曲线
外,直线
与曲线
相交,
所以直线的斜率存在,设直线
的方程为
.
设,
由 得
.
则, ①
, ②
由题意知,解得
.
因为,
所以,即
. ③
把③代入①得,
④
把④代入②得,得
,满足
.
所以直线的方程为:
或
.
方法二:因为当直线的斜率为0时,
,
,
,
此时.
因此设直线的方程为:
.
设,
由 得
.
由题意知,解得
或
,
则, ①
, ②
因为,所以
. ③
把③代入①得,
④
把④代入②得,
,满足
或
.
所以直线的方程为
或
.
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】如图所示,三棱柱的侧面
是圆柱的轴截面,C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点。
(1)若圆柱的轴截面是正方形,当点C是弧AB的中点时,求异面直线与AB的所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)当点C是弧AB的中点时,求四棱锥体积与圆柱体积的比.
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【题目】交大设计学院植物园准备用一块边长为4百米的等边ΔABC田地(如图)建立芳香植物生长区、植物精油提炼处与植物精油体验点.田地内拟建笔直小路MN、AP,其中M、N分别为AC、BC的中点,点P在CN上.规划在小路MN和AP的交点O(O与M、N不重合)处设立植物精油体验点,图中阴影部分为植物精油提炼处,空白部分为芳香植物生长区,A、N为出入口(小路宽度不计).为节约资金,小路MO段与OP段建便道,供芳香植物培育之用,费用忽略不计,为车辆安全出入,小路AO段的建造费用为每百米4万元,小路ON段的建造费用为每百米3万元.
(1)若拟建的小路AO段长为百米,求小路ON段的建造费用;
(2)设∠BAP=,求
的值,使得小路AO段与ON段的建造总费用最小,并求岀最小建造总费用(精确到元).
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【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图有一景区的平面图是一半圆形,其中直径长为两点在半圆弧上满足
,设
,现要在景区内铺设一条观光通道,由
和
组成.
(1)用表示观光通道的长
,并求观光通道
的最大值;
(2)现要在景区内绿化,其中在中种植鲜花,在
中种植果树,在扇形
内种植草坪,已知单位面积内种植鲜花和种植果树的利润均是种植草坪利润的
倍,则当
为何值时总利润最大?
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【题目】已知函数,其导函数设为
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数有两个极值点
,
,试用
表示
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若的极值点恰为
的零点,试求
,
这两个函数的所有极值之和的取值范围.
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【题目】已知(m,n为常数),在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若,使得对
上恒有
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点
,求证:
.
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