Question

正方形ABCD的边长是2，E，F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图所示）．M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为________．

Answer 1

分析：如图，先过点M作MH⊥EF，连接BH，由∠MBE=∠MBC，得出H在∠EBC的角平分线上，即∠EBH=45°，再利用直角三角形MBH中，MH=BH×tan∠MBH即可求得点M到直线EF的距离．
解答：解：如图，过点M作MH⊥EF，连接BH，
∵∠MBE=∠MBC，
∴H在∠EBC的角平分线上，即∠EBH=45°，
∴BH=，
在直角三角形MBH中，
由于MB和平面BCF所成角的正切值为，∴tan∠MBH=
∴MH=BH×tan∠MBH==，
那么点M到直线EF的距离为
故答案为：．
点评：本题考查的点是直线与平面所成的角、点、线、面间的距离计算，其中利用∠MBE=∠MBC，得出H在∠EBC的角平分线上，求出点H在平面BCF上射影的位置是解答本题的关键．