Question

已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O．将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC=

3

4

，则其中的真命题是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：由题意，作出如图的图象，由正方形的性质知，CO⊥BD，AO⊥BD，可得BD⊥面AOC，且AC=AO=CO=2

2

，AD=CD=4，可由线面垂直判断AC⊥BD，AD⊥CO可反证确定它不成立，③可由正三角形的性质判断，④可由余弦定理直接求出cos∠ADC=

3

4

，由此可选出正确答案．

解答：解：由题意，可作出如图的图象，在下图中，由正方形的性质知，CO⊥BD，AO⊥BD，故可得BD⊥面AOC
由此可得出BD⊥AC，∠AOC=60°，故①正确，
又由题设条件O是正方形对角线的交点，可得出AO=CO，于是有③△AOC为正三角形，可得③正确；
由上证知，CO与面ABD不垂直且CO⊥BD，故AD与CO不垂直，由此知②不正确；
由上证知，△AOC是等边三角形，故AC=AO=CO=2

2

，AD=CD=4，所以cos∠ADC=

16+16-8

2×4×4

=

3

4

故④正确
由上判断知：①③④正确．
故选：D．

点评：本题考查与二面角有关的综合问题，考查了线面垂直，面面角的平面的确定等问题，这是一个翻折问题，此类问题理解翻折过程中的变与不变是解题的关键．