【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b+c)tanC=﹣ctanA.
(1)求A;
(2)若b,c=2,点D在BC边上,且AD=BD,求AD的长.
【答案】(1)A;(2)AD
【解析】
(1)在(b+c)tanC=﹣ctanA中利用同角公式切化弦和正弦定理边化角可得答案;
(2)先用余弦定理求得,然后求得,再在△中用余弦定理求得即可.
(1)∵(b+c)tanC=﹣ctanA,∴()c,
利用正弦定理边化角得:(sinB+sinC)sinC,∵0<C<π,∴sinC≠0,
∴(sinB+sinC),∴sinBcosA+sinCcosA=﹣sinAcosC,
∴sinBcosA=﹣(sinAcosC+sinCcosA)=﹣sin(A+C)=﹣sinB,
又∵0<B<π,∴sinB≠0,∴cosA=﹣1,∴cosA,又∵0<A<π,∴A;
(2)∵A,b,c=2,∴由余弦定理得:cosA,
∴,∴a,∴cosB,
∴在三角形ABD中,由余弦定理得:cosB,且BD=AD,
,∴AD.
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【题目】某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题,规则如下:
①每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;
②每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求甲同学能进入下一轮的概率;
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Εξ.
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【题目】已知命题p:关于x的方程xa在(1,+∞)上有实根;命题q:方程1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆.
(1)若p是真命题,求a的取值范围;
(2)若p∧q是真命题,求a的取值范围.
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【题目】关于函数,.有下列命题:
①对,恒有成立.
②,使得成立.
③“若,则有且.”的否命题.
④“若且,则有.”的逆否命题.
其中,真命题有_____________.(只需填序号)
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【题目】下图1,是某设计员为一种商品设计的平面logo样式.主体是由内而外的三个正方形构成.该图的设计构思如图2,中间正方形的四个顶点,分别在最外围正方形ABCD的边上,且分所在边为a,b两段.设中间阴影部分的面积为,最内正方形的面积为.当,且取最大值时,定型该logo的最终样式,则此时a,b的取值分别为_____________.
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【题目】已知等差数列的公差,数列满足,集合.
(1)若,求集合;
(2)若,求使得集合恰好有两个元素;
(3)若集合恰好有三个元素:,是不超过7的正整数,求的所有可能的值.
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