Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e=

2

3

，椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12，点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆G上的点M到两焦点的距离之和为12，可求a=6，利用离心率为e=

2

3

，可得c=4，从而可求椭圆G的方程；（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4），设点P（x，y），则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），利用PA⊥PF，点P在椭圆上，可得点P的坐标；                                        
（3）确定直线AP的方程，求出M到直线AP的距离是

|m+6|

2

，利用M到直线AP的距离等于|MB|，可得M点的坐标，求出椭圆上的点（x，y）到点M的距离，利用配方法，即可求得结论．

解答：解：（1）∵椭圆G上的点M到两焦点的距离之和为12，
∴2a=12，a=6…（1分）
∵e=

c

a

=

2

3

，∴c=4…（2分）
∴b=

a2-c2

=

36-16

=2

5

…（3分）
∴椭圆G的方程为

x2

36

+

y2

20

=1…（5分）
（2）由（1）可得点A（-6，0），B（6，0），F（0，4）…（6分）
设点P（x，y），则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），由已知可得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

则 2x²+9x-18=0，x=

3

2

或x=-6．由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5 3

2

         …（8分）
∴点P的坐标是（

3

2

，

5 3

2

）                                             …（9分）
（3）直线AP的方程是

y

5 3 2

=

x+6

3 2 +6

，即x-

3

y+6=0                                     …（10分）
设点M的坐标为（m，0），则M到直线AP的距离是

|m+6|

2

．
∴

|m+6|

2

=|m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．
∴M点的坐标为（2，0）…（12分）
设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，则d=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+20- 5 9 x2

∴d²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+20-

5

9

x²=

4

9

（x-

9

2

）²+15，…（13分）
∵-6≤x≤6，
∴当x=

9

2

时，d取得最小值

15

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点到直线的距离，考查配方法的运用，属于中档题．