Question

7．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别等于等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（n=1）}\\{{a}_{n}+2{b}_{n}（n≥2）}\end{array}\right.$，求c₁+c₂+…+c₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别等于等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．可得：${a}_{5}^{2}$=a₂a₁₄，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d．
利用等差数列的通项公式可得a_n．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2n-1+{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别等于等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
∴${a}_{5}^{2}$=a₂a₁₄，∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），化为：d²-2d=0，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b₂=a₂=1+2=3，b₃=a₅=9．
∴q=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=3．
∴b_n=${b}_{2}{q}^{n-2}$=3×3^n-2=3^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（n=1）}\\{{a}_{n}+2{b}_{n}（n≥2）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{2n-1+{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴c₁+c₂+…+c₁₀₀=3+（3+5+…+199）+2×（3+3²+…+3⁹⁹）
=3+$\frac{99×（3+199）}{2}$+2×$\frac{3（{3}^{99}-1）}{2-1}$
=3¹⁰⁰+9999．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．