Question

10．已知函数f（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）探究直线y=kx-1与曲线y=f（x）的交点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）直线y=kx-1与曲线y=f（x）的交点个数即为方程kx-1=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$的解的个数，即有k-2=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，令g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，求得导数，判断单调性，对k讨论，k=2，k＞2，k＜2，即可得到所求交点个数．

解答 解：（I）函数f（x）=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$的导数为f′（x）=2-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
可得f（x）的增区间为（1，+∞），（-∞，0）；
减区间为（0，1）；
（Ⅱ）直线y=kx-1与曲线y=f（x）的交点个数即为：
方程kx-1=2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$的解的个数，
即有k-2=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
由g（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$，g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{4}}$＜0，
可得g（x）在（-∞，0），（0，+∞）均为递减函数，
当x＞0，g（x）＞0，g（x）递减；当x＜0时，g（x）＜0，g（x）递减．
即有当k-2=0，即k=2时，方程无解，可得交点个数为0；
当k-2＞0或k-2＜0，即k＞2或k＜2，方程有一解，可得交点个数为1．

点评 本题考查导数的运用：判断单调性，考查函数方程的转化思想方法，注意运用参数分离，判断函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．