Question

20．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B-C）=2$\sqrt{2}$sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由asinB+bcos（B+C）=0，利用正弦定理可得sinAsinB-sinBcosA=0，由sinB≠0，化为sinA=cosA，A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{4}$．
由sinA+sin（B-C）=2$\sqrt{2}$sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2$\sqrt{2}$sinC，利用正弦定理可得b=2$\sqrt{2}$c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：在斜△ABC中，∵asinB+bcos（B+C）=0，
∴sinAsinB-sinBcosA=0，
∵sinB≠0，
∴sinA=cosA，A∈（0，π），
∴tanA=1，解得A=$\frac{π}{4}$．
∵sinA+sin（B-C）=2$\sqrt{2}$sin2C，
∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC-cosBsinC=2$\sqrt{2}$sin2C，
∴2sinBcosC=4$\sqrt{2}$sinCcosC
∵cosC≠0，
∴sinB=2$\sqrt{2}$sinC，
∴b=2$\sqrt{2}$c．
由余弦定理可得：a²=$（2\sqrt{2}c）^{2}+{c}^{2}$-2×$2\sqrt{2}$c²cos$\frac{π}{4}$=5c²．
∵△ABC的面积为1，
∴$\frac{1}{2}bcsinA$=1，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}{c}^{2}×sin\frac{π}{4}$=1，解得c²=1．
则a=$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．