Question

19．已知实数a，b满足b²-6b+9-（b-a）i=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足|z-a-bi|=3，求|z|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用复数相等即可得出．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|z-a-bi|=3，可得：（x-3）²+（y-3）²=9．利用点与圆的位置关系即可得出．

解答 解：（1）∵实数a，b满足b²-6b+9-（b-a）i=0，
∴b²-6b+9=b-a=0，解得b=a=3．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），
∵|z-a-bi|=3，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-3）^{2}}$=3，即（x-3）²+（y-3）²=9．
∴|z|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$≥$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$-3=3$\sqrt{2}$-3．
∴|z|的最小值为3$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查了复数的运算性质、复数相等、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．