Question

4．在△ABC中，sinB=sinAcosC，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于$\frac{1}{3}$．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形的内角和定理得到B=π-（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后可得cosAsinC=0，结合sinC≠0，可得cosA=0，又A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{2}$，即△ABC为直角三角形．
（2）由题意，利用正弦定理可求最小边长，利用勾股定理可求另一直角边，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC，
∴cosAsinC=0，
∵C为三角形内角，sinC≠0，
∴cosA=0，
∴由A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{2}$，即△ABC为直角三角形．
（2）∵由（1）得A=$\frac{π}{2}$，由题意△ABC的最大边长为12，最小角的正弦等于$\frac{1}{3}$．
∴设最小边长为x，则由正弦定理可得：$\frac{12}{sin\frac{π}{2}}$=$\frac{x}{\frac{1}{3}}$，解得：x=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{1{2}^{2}-{4}^{2}}$=16$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．