Question

14．△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{3}$，b=5，△ABC的面积S=5$\sqrt{3}$，求sinBsinC的值．

Answer 1

分析 根据面积公式解出c，由余弦定理得出a，使用正弦定理解出sinB，sinC．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{5\sqrt{3}c}{4}=5\sqrt{3}$，∴c=1．
由余弦定理得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{21}$．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5}{sinB}=\frac{1}{sinC}$，
∴sinB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，sinC=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∴sinBsinC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}×\frac{\sqrt{7}}{14}$=$\frac{5}{28}$．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形中的应用，属于中档题．