Question

12．$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{π}{4}$x，1），$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$x），-1）定义在R上的函数f（x+1）=-f（x），∈[1，3]时，f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$则下列大小关系正确的是（　　）

• A． f（tan（$\frac{1}{2}π-1$））＞f（cot1）
• B． f（cos$\frac{5}{6}π$）$＜f（cos\frac{π}{3}）$
• C． f（sin2）＞f（cos2）
• D． f（cos1）＞f（sin1）

Answer 1

分析 根据函数性质得出函数周期，作出函数的图形草图，根据函数的单调性与对称性判断．

解答 解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-1），f（x）=-f（x+1），
∴f（x-1）=f（x+1）．
∴f（x）是周期为2的函数．
当x∈[1，3]时，f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cos$\frac{πx}{4}$sin（$\frac{π}{2}+\frac{πx}{4}$）-1=2cos²$\frac{πx}{4}$-1=cos$\frac{πx}{2}$．
∴f（x）在[1+2k，2+2k]上单调递减，在[2+2k，3+2k]上单调递增，
作出f（x）的图象草图：

由图象可知f（x）为偶函数．
对于A，∵tan（$\frac{π}{2}-1$）=cot1，∴f（tan（$\frac{π}{2}-1$））=f（cot1）．故A错误．
f（cos$\frac{5π}{6}$）=f（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$），f（cos$\frac{π}{3}$）=f（$\frac{1}{2}$），
对于B，∵$0＜\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}＜1$，∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$），即f（cos$\frac{5π}{6}$）＞f（cos$\frac{π}{3}$），故B错误．
对于D，∵1＞sin1＞cos1＞0，
∴f（sin1）＞f（cos1），故D错误．
故选：C．

点评 本题考查了函数的周期性应用，向量数量积的运算，余弦函数的图象与性质，属于中档题．