Question

【题目】设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集， 中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.

（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；

（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明： ；

（Ⅲ）给定正整数.求集合的“相关数” 的最小值.

Answer 1

【答案】（1）不是, 是（2）见解析(3)

【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得及，对于个元素的子集可以举出反例可证含有个元素的子集只有，满足题意；（Ⅱ）首先考察集合的含有个元素的子集，证明当时， 一定不是集合的“相关数”，可得结果；（Ⅲ）先将集合的元素分成如下组： ，再将集合的元素剔除和后，分成如下组： ，可得两者中同属对于的一个含有个元素的子集中至少一组无相同元素，可得结果.

试题解析：（Ⅰ）当时， ， ．①对于的含有个元素的子集，因为，所以不是集合的“相关数”．

②的含有个元素的子集只有，因为，

所以是集合的“相关数”．

（Ⅱ）考察集合的含有个元素的子集．

中任意个元素之和一定不小于．

所以一定不是集合的“相关数”．

所以当时， 一定不是集合的“相关数”．

因此若为集合的“相关数”，必有．

即若为集合的“相关数”，必有．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．先将集合的元素分成如下组：

．对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合．再将集合的元素剔除和后，分成如下组：

．对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合．这一组与上述三组中至少一组无相同元素，

不妨设与无相同元素．此时这个元素之和为．所以集合的“相关数”的最小值为．