Question

如图，三个同样大小的长方形并排一行．
（1）求f（x）=（

OA

•

OC

-6）x²+

OA

•

OB

x+

OB

•

OC

，（x∈[-4，1]）的最大值及最小值；
（2）求

OA

与

OC

夹角的余弦值及tan（∠AOB+∠COD）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,数量积表示两个向量的夹角

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）建立平面直角坐标系，求出向量

OA

，

OB

，

OC

的坐标，根据向量数量积公式，可求出

OA

•

OC

，

OA

•

OB

，

OB

•

OC

的值，代入可得函数解析式，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最值；
（2）代入向量夹角公式，可得

OA

与

OC

夹角的余弦值，∠AOB的余弦值，进而根据同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式，得到答案．

解答： 解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（1，2），B（2，2），C（3，2）
则

OA

=（1，2），

OB

=（2，2），

OC

=（3，2）

OA

•

OC

=7，

OA

•

OB

=6，

OB

•

OC

=10，
代入f（x）=x²+6x+10，（x∈[-4，1]）
∵f（x）=x²+6x+10的图象是开口朝上，且以直线x=-3为对称轴的抛物线，
故f（x）在[-4，-3]上为减函数，在[-3，1]上为增函数，
当x=-3时，函数取最小值1，当x=1时，函数取最大值17．
（2）∵cos∠AOC=

OA • OC

| OA |•| OC |

=

7

5 • 13

=

7 65

65

，
cos∠AOB=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

6

5 •2 2

=

3 10

10

，
故sin∠AOB=

10

10

，tan∠AOB=

1

3

，
又∵tan∠COD=

2

3

，
∴tan（∠AOB+∠COD）=

tan∠AOB+tan∠COD

1-tan∠AOB•tan∠COD

=

1 3 + 2 3

1- 1 3 × 2 3

=

9

7

点评：本题考查的知识点是两角和的正切函数，数量积表示两个向量的夹角，向量的数量积，二次函数的图象和性质，是函数，三角函数与向量的综合应用，难度中档．