Question

当x∈[

π

6

，

π

2

]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，则a=

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：首先把函数f（x）=cos2x+asinx通过三角恒等变换转化成以sinx为变量的二次函数的标准形式，即f（x）=-2（sinx-

a

4

）²+

a2

8

+1，然后对a进行讨论①a＞0②a＜0其中对①a＞0又分三种情况，即x=

a

4

与sinx（x∈[

π

6

，

π

2

]）的关系进行单调性的探讨，通过具体的分析最后求得a值．

解答： 解：函数f（x）=cos2x+asinx=-2（sinx-

a

4

）²+

a2

8

+1
所以函数f（x）是以x=

a

4

为对称轴开口方向向下的抛物线．
（1）当a＜0时对称轴x=

a

4

在y轴的左侧，由于当x∈[

π

6

，

π

2

]，
根据函数sinx的单调性，当x=

π

6

时，函数f（x）取得最大值，令f（

π

6

）=3 求得a=5与a＜0矛盾，故舍去．
（2）当a＞0时分以下三种情况进行分析：
①当

1

2

＜

a

4

＜1 时，即2＜a＜4，f（

a

4

）取得最大值为3，令f（

a

4

）=3  求得a=4 与2＜a＜4矛盾故舍去．
②当

a

4

≤

1

2

时，即a≤2，f（

π

6

）取得最大值3，令f（

π

6

）=3 求得a=5与a≤2矛盾故舍去．
③当

a

4

≥1时，即a≥4，f（

π

2

）取得最大值3，令 f（

π

2

）=3 求得a=4符合题意．
由（1）（2）得a=4
故答案为：4

点评：本题考查的知识点：三角函数的变换，二次函数的标准形式，以及对称轴和sinx（x∈[

π

6

，

π

2

]）的关系，重在对参数a进行分类讨论．