Question

【题目】设f(x)＝ (m＞0，n＞0)．

(1) 当m＝n＝1时，求证：f(x)不是奇函数；

(2) 设f(x)是奇函数，求m与n的值；

(3) 在(2)的条件下，求不等式f(f(x))＋f <0的解集．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2） （3）(－∞，log23)．

【解析】试题分析:（1）只要举一个反例说明f(x)不是奇函数即可（2）由奇函数性质得恒等式,再根据恒等式定理得对应项系数为零,解方程组可得m与n的值；注意验证函数定义域关于零点对称(3)先分离函数,判定函数单调性,再利用奇偶性以及单调性化简不等式f(f(x))＋f <0为f(x)>－,最后最后为指数函数不等式: 2x<3,解得x<log23即为所求

试题解析：(1) 证明：因为当m＝n＝1时，f(x)＝，f(1)＝－，f(－1)＝， f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函数．

(2) 解：当f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即＝－对定义域内任意实数x成立．

化简整理得(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0，这是关于x的恒等式，

所以

所以 (不符，舍去)或

经检验符合题意，所以

(3) 解：由(2)可知f(x)＝＝ (－1＋)，易判断f(x)是R上单调减函数；

由f(f(x))＋f()<0，得f(f(x))<ff(x)>－2x<3 x<log23，

所以f(x)>0的解集为(－∞，log23)．