Question

4．在平行四边形ABCD中，求证：|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=2（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²）．

Answer 1

分析 在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算化简即可得证．

解答 证明：在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
即有|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{BD}$²
=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）²+（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）²=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$
=2（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$）=2（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²）．

点评 本题考查向量的运用，主要考查向量的加减运算和向量的数量积的性质，属于基础题．