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如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O为AB的中点.

(1)求证:OC⊥DF;
(2)求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小;
(3)求多面体ABC—FDE的体积V.

(1)以O为原点,OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
 
(2)平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为      
(3)

解析试题分析:(1)证法一:FA⊥平面ABC,平面ABC,     2分
又CA=CB且O为AB的中点, 平面ABDF,          4分
平面ABDF,        5分
证法二:如图,以O为原点,OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,                2分
      5分
(2)解法一:解:设平面ABC的法向量为            6分

设平面DEF的法向量为 

解得,           8分
所以,          10分
故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为            11分
解法二:设平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为,依题中的条件可求得DE=由空间射影定理得故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为             11分
解法三:延长ED、FD交直线CB、AB于M、N两点,过B点作MN的垂线交MN于Q点,连结DQ,
平面BMN,所以为二面角的平面角,
,故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为      11分
(3)解法一:由(1)知平面ABDF,且平面ABC,
 
         14分
所以多面体ABC—FDE的体积为解法二:在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱,其底面为ABC,高为4,
所以多面体ABC—FDE的体积所以多面体ABC—FDE的体积为
考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系、角及体积计算。
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。

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