如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O为AB的中点.
(1)求证:OC⊥DF;
(2)求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小;
(3)求多面体ABC—FDE的体积V.
(1)以O为原点,OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
即
(2)平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为
(3)
解析试题分析:(1)证法一:FA⊥平面ABC,平面ABC, 2分
又CA=CB且O为AB的中点, 平面ABDF, 4分
平面ABDF, 5分
证法二:如图,以O为原点,OB、OC、Oz分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 2分
即 5分
(2)解法一:解:设平面ABC的法向量为 6分
设平面DEF的法向量为
由得,
解得, 8分
所以, 10分
故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 11分
解法二:设平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为,依题中的条件可求得DE=由空间射影定理得故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 11分
解法三:延长ED、FD交直线CB、AB于M、N两点,过B点作MN的垂线交MN于Q点,连结DQ,
平面BMN,所以为二面角的平面角,
,故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为 11分
(3)解法一:由(1)知平面ABDF,且平面ABC,
14分
所以多面体ABC—FDE的体积为解法二:在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱,其底面为ABC,高为4,
所以多面体ABC—FDE的体积所以多面体ABC—FDE的体积为
考点:本题主要考查立体几何中的垂直关系、角及体积计算。
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在长方体中,,过、、三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,且这个几何体的体积为.
(1)求棱的长;
(2)若的中点为,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直三棱柱(侧棱垂直底面)中,M、N分别是BC、AC1中点,AA1=2,AB=,AC=AM=1.
(1)证明:MN∥平面A1ABB1;
(2)求几何体C—MNA的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图甲,设正方形的边长为,点分别在上,并且满足
,如图乙,将直角梯形沿折到的位置,使点在
平面上的射影恰好在上.
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知为平行四边形,,,,点在上,,,与相交于.现将四边形沿折起,使点在平面上的射影恰在直线上.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求折后直线与平面所成角的余弦值.
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