Question

11．有下列命题：
①函数y=cos（x+$\frac{π}{2}$）是偶函数；
②y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））的单调递增区间为（2kπ+$\frac{5π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z；
③直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）图象的一条对称轴；
④函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）上是单调增函数；
⑤点（$\frac{π}{6}$，0）是函数y=tan（x+$\frac{π}{3}$）图象的对称中心；
⑥若f（sinx）=cos6x，则f（cos15°）=0．
其中正确命题的序号是③④⑤⑥．

Answer 1

分析 利用诱导公式，化简函数y=cos（x+$\frac{π}{2}$）的解析式，进而根据正弦函数的奇偶性，可判断①；
利用复合函数的单调性，求出函数y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））的单调递增区间，可判断②；
求出函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）图象的对称轴方程，可判断③；
判断函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）上的单调性，可判断④；
求出函数y=tan（x+$\frac{π}{3}$）图象的对称中心坐标，可判断⑤；
根据已知，求出f（cos15°）的值，可判断⑥．

解答 解：①函数y=cos（x+$\frac{π}{2}$）=-sinx是奇函数，故错误；
②y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））=y=lg（-sin（x-$\frac{π}{4}$）），
由x-$\frac{π}{4}$∈（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+π），k∈Z得：x∈（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z；
即y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））的单调递增区间为（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z，故错误；
③由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
当k=0时，直线x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）图象的一条对称轴，故正确；
④当x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）时，t=x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），此时y=sint为增函数，
故函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）上是单调增函数，故正确；
⑤由x+$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，得：x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
当k=1时点（$\frac{π}{6}$，0）是函数y=tan（x+$\frac{π}{3}$）图象的对称中心，故正确；
⑥若f（sinx）=cos6x，则f（cos15°）=f（sin75°）=cos（6×75°）=cos450°=0，故正确．
故正确命题的序号是：③④⑤⑥，
故答案为：③④⑤⑥

点评 判断三角函数的奇偶性，对称，单调区间等问题是本章的热点考点，解答这类问题的关键是关键是熟记正弦，余弦与正切函数的变换规律．如正弦函数y=sinx是奇函数，余弦函数y=cosx是偶函数，y=sinx的对称中心是使函数值等于0时的x的值等知识点，考查综合应用知识的能力．