Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，其前n项和为S_n，当n≥2时，满足a_n-2ⁿ=S_n-1，又b_n=

an

2n

，
（I）证明：数列{b_n}是等差数列；
（II）求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）求出数列的前两项，通过a_n-2ⁿ=S_n-1，求出a_n+1，a_n的关系，转化为数列{b_n}相邻两项的关系，即可证明数列{b_n}是等差数列；
（II）通过（I），求出数列{b_n}，{a_n}的通项公式，确定数列{S_n}的通项公式，利用错位相减法求出数列{S_n}前n项和T_n．

解答：解：（I）由题意知得，a₁=2，a₂-2²=S₁=a₁=2，∴a₂=6．
n≥2时，a_n-2ⁿ=S_n-1，a_n+1-2ⁿ⁺¹=S_n，
两式相减得 a_n+1-a_n-2ⁿ=a_n
即 a_n+1=2a_n+2ⁿ  （n≥2）
于是

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

即 b_n+1-b_n=

1

2

   n≥2
又b₁=

a1

2

=1，b2=

a2

22

=

3

2

，b₂-b₁=

1

2

，
所以数列{b_n}是首项为1，公差为0.5的等差数列．
（II）由（I）知，bn=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

，
a_n=b_n2ⁿ=（n+1）2^n-1，
又n≥2时a_n-2ⁿ=S_n-1，S_n-1=（n-1）2^n-1，
∴S_n=n•2ⁿ
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹…②
②-①可得
T_n=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题是中档题，考查递推关系式求解数列的通项公式，判断数列是等差数列，数列前n项和的求法，错位相减法的应用，常考题型．