Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，且a2=

3

3

c．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析：（I）利用已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，且a2=

3

3

c．可得

c a = 3 a2= 3 3 c c2=a2+b2

，解得即可；
（II）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（s，t），利用“点差法”可得s-

t

2

=0，又线段AB的中点在圆x²+y²=5上，于是s²+t²=5，联立解得s，t．再代入s-t+m=0即可得出m．

解答：解：（I）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

3

，且a2=

3

3

c．
∴

c a = 3 a2= 3 3 c c2=a2+b2

，解得

a=1 c= 3 b2=2

∴双曲线C的方程为x2-

y2

2

=1；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（s，t），则

s= x1+x2 2 t= y1+y2 2

，kAB=

y1-y2

x1-x2

=1．
由

x

2 1

-

y 2 1

2

=1，

x

2 2

-

y 2 2

2

=1，
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，∴s-

t

2

=0
又线段AB的中点在圆x²+y²=5上，∴s²+t²=5，联立解得

s=1 t=2

，或

s=-1 t=-2

．
又中点M在直线x-y+m=0上，∴1-2+m=0或-1-（-2）+m=0，
解得m=1或-1．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、“点差法”、“中点弦”问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．