Question

【题目】已知，当点在的图象上运动时，点在函数的图象上运动.（其中）.

（1）求的表达式；

（2）设集合，，若（为空集），求实数的取值范围；

（3）设，若函数（）的值域为，求实数、的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） ，.

【解析】

根据点在的图象上运动,可得，点在函数的图象上运动,可得,由此可得,利用换元令,即可得到的表达式.

由可知与的表达式，因为，可得方程存在大于负2的实数解,分离参数,使为关于的表达式，求出关于的函数的值域即可.

由可知的表达式,从而可得,利用函数和函数在的单调性可判断出在上的单调性,从而可得在区间上的单调性,求出在区间上的最值,进而得到关于的方程,解方程即可.

因为点在函数的图象上运动，且,

所以,令则,

所以.

因为,

所以,，

所以,

因为,所以存在使,

即存在使，

即方程有大于负2的实数根,

因为,

所以,

令则,

即,因为，所以,

所以的取值范围为.

因为，所以 ，

所以,

所以,

因为函数和函数在上均为减函数,

所以函数在上为减函数,

因为,所以可得在区间上为减函数,

所以,，

因为函数在区间上的值域为,

所以,

,

解得故所求的的值为