【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的左、右顶点为A，B，右焦点为F.过点A且斜率为k（
）的直线交椭圆C于另一点P.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若
，求
的值；
（3）设直线l:
，延长AP交直线l于点Q，线段BQ的中点为E，求证：点B关于直线EF的对称点在直线PF上.
【答案】（1）
（2）
（3）详见解析
【解析】
第一问利用离心率的公式直接求解；第二问将直线AP的方程为
与椭圆C的方程
联立求出点P的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出
的值；第三问先求出
点的坐标，再利用中点坐标公式求出点
的坐标，然后求出点P的坐标及直线PF的斜率、直线EF的斜率，最后根据
得出
即可证明.
（1）因为椭圆C：
，所以
，
，
.又
，所以
，
，所以椭圆C的离心率
.
（2）因为直线AP的斜率为，且过椭圆C的左顶点
，
所以直线AP的方程为.代入椭圆C的方程，
得
，即
，解得
或
（舍去），将代入，得
，所以点P的坐标为
.又椭圆C的右顶点B（2t,0），
所以
，
，所以.
（3）直线AP的方程为
，将
代入，得
，所以
.因为E为线段BQ的中点，所以
，因为焦点F的坐标为（t,0），
所以直线EF的斜率
.联立
消y得，
.由于
，
，所以
，所以点P的坐标为
，
所以直线PF的斜率
.而直线EF的斜率为2k，
若设
，则有，即，
所以点B关于直线EF的对称点在直线PF上.
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【题目】已知点
、
为双曲线
的左、右焦点，过作垂直于
轴的直线，在轴上方交双曲线
于点
，且
，圆
的方程是
.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
、
，求
的值；
（3）过圆上任意一点
作圆的切线
交双曲线于
、
两点，
中点为，求证：
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【题目】如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小海在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西45°方向，则A、B两岛屿的距高为___________海里.
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【题目】已知函数
，函数g（x）=-2x+3．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数
的单调性；
（3）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．
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【题目】如图，已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，以线段
为直径的圆与椭圆交于点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过
轴正半轴上一点
作斜率为
的直线
.
①若与圆和椭圆都相切，求实数
的值；
②直线在轴左侧交圆于
、
两点，与椭圆交于点
、
（从上到下依次为、、、），且
，求实数的最大值.
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【题目】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm2
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
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【题目】已知
，当点
在
的图象上运动时，点
在函数
的图象上运动.（其中
）.
（1）求的表达式；
（2）设集合
，
，若
（
为空集），求实数
的取值范围；
（3）设
，若函数
（
）的值域为
，求实数、
的值.
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【题目】已知函数
，
，
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在
，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．
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